Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah a + bx + c = 0, dimana a, b, dan c adalah bilangan real dan a 0.
Misalnya :
- 2 + 5x – 3 = 0, maka a = 2, b = 5, dan c = -3
- -4 – 25 = 0, maka a = -4, b = 0, dan c = – 25
- 3 + 11x = 0, maka a = 3, b = 11, dan c = 0
Ketiga contoh diatas menunjukkan bahwa persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk
a + bx + c = 0, dimana a, b, dan c adalah bilangan real dan a 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat dinamakan akar-akar persamaan kuadrat atau penyelesaian persamaan kuadrat. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ada empat ( 4 ) cara yaitu:
- Dengan pemfaktoran
- Dengan melengkapkan kuadrat sempurna
- Dengan rumus persamaan kuadrat
- Dengan grafik fungsi kuadrat
- Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan pemfaktoran
Jika suatu persamaan kuadrat dapat di faktorkan dalam bentuk hk = 0, maka persamaan itu dapat di selesaikan dengan pemfaktoran. Sifatnya jika p . q R dan p . q = 0 maka p = 0 atau q = 0.
Misalnya:
Persaamaan kuadrat + x – 6 = 0 di faktorkan dalam bentuk hk = 0.
( x – 2 ) ( x + 3 ) = 0
x – 2 = 0 atau x + 3 = 0
X = 2 atau x = -3
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 2, – 3 }
Contoh soal:
- – 8x + 5 = 0
- 4 – 25 = 0
Penyelesaian:
- – 8x + 5 = 0
( x + 3 ) ( x – 5 ) = 0
X – 3 = 0 atau x – 5 = 0
X = 3 atau x = 5
Jadi HP = { 3, 5 }
– 25 = 0
( 2x + 5 )( 2x – 5 ) = 0
2x + 5 = 0 atau 2x – 5 = 0
X = – atau x =
Jadi, HP = { – , }.
- Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Bentuk + 2ax + adalah bentuk kuadrat sempurna, karena:
+ 2ax + = ( x + a )2 , sedangkan bentuk bukan kuadrat sempurna ( D = b2 – 4ac ), karena ( x + a )2 . Bentuk melengkapkan kuadrat sempurna yaitu: + ax = ( x + a) – ( a )2.
yang tidak dapat diselesaikan dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Misalnya persamaan + 6x + 2 = 0 tidak dapat di selesaikan dengan pemfaktoran, namun demikian dapat diselesaikan dengan melengkapkan kuadrat sempurna, dengan langkah-langkah sebagai berikut:
+ 6x + 2 = 0
+ 6x = – 2
+ 6x + ( 3 )2 = ( 3 )2– 2
( x + 3 )2 = 7
( x + 3 )2 =
X + 3 = atau x + 3 = –
X = – 3 + atau x = – 3 –
Jadi HP= { X = – 3 + , x = – 3 – ).
- Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus
Setiap persamaan kuadrat dapat dinyatakan dalam bentuk umum yaitu:
a + bx + c = 0, dimana a, b, dan c bilangan real dan a 0. Akar-akar persamaan kuadrat a + bx + c = 0 dapat di selesaikan dengan rumus :
=
Rumus akar-akar persamaan kuadrat diatas dapat diturunkan dari persamaan kuadrat dengan metode melengkapkan kuadrat.
a + bx = – c
x = –
+ x + ( )2 = ( )2 –
(x + )2 = –
(x + )2 =
X + =
X + =
X = –
X =
Contoh soal:
Gunakan rumus untuk menentukan akar-akar persamaan 5 + 3x – 7 = 0, sampai dengan dua angka di belakang koma.
Penyelesaian :
5 + 3x – 7 = 0; a = 5, b = 3 dan c = – 7
=
atau =
atau =
atau =
atau
Jadi HP = { 0.92, – 1.5 }.
- Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Grafik
Menyelesaikan persamaan kuadrat a + bx + c = 0, berarti menentukan nilai-nilai x bila f(X) = 0,dimana f (x) = a + bx + c. Apabila grafik fungsi f(x) telah dilukis, maka koordinat-x titik-titik potong kurva dengan sumbu x adalah penyelesaian ( akar-akar ) dari persamaan a + bx + c = 0. Manfaat lain dari metode penyelesaian persamaan kuadrat dengan grafik yaitu, kita dapat menggunakan grafik fungsi f(x)= a + bx + c untuk menyelesaikan persamaan
a + bx + p = 0.
Contoh soal:
Selesaikan persamaan + 3x – 10 = 0 dengan menggunakan grafik
y = + 3x – 10.
Penyelesaian :
Lukislah grafik y = + 3x – 10 dengan langkah-langkah sebagai berikut:
- Karena domain tidak diketahui,mula-mula tentukan koordinat titik balik kurva untuk menentukan domin yang sesuai:
y = + 3x – 10
y + 10 = +3x
y + 10 = ( x + )2 –
y + = ( x + )
koordinat titik balik ( – , – ).
- Tentukan domain dimana x= – sebagai patokan y = + 3x – 10
| Domain ( x ) | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Y | 8 | 0 | -6 | -10 | -12 | – | -12 | -10 | -6 | 0 | 8 |
- Dari pasangan titik pada table diatas lukislah grafik y = + 3x – 10
- Dari keterangan gambar, grafik y = + 3x – 10 memotong sumbu X di titik A ( -5, 0 ) dan B ( 2 , 0 ).
- Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Akar-akar persamaan kuadrat a + bx + c = 0, berhubungan erat dengan koefisien- koefisien a, b, dan c.
Rumus akar-akar persamaan kuadrat :
X = -akar persamaan tersebut
Misalkan akar -akar persamaan tersebut adalah dan maka:
= dan =
akar : + = –
dan hasil kali akar-akar : = .
Jika persamaan kuadrat a + bx + c = 0, di tulis dalam bentuk:
+ x + = 0
– ), dan hasil kali akar-akarnya sama dengan nilai konstanta ( ).
- Masalah yang Melibatkan Persamaan Kuadrat
Berbagai macam persoalan dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan kuadrat. Untuk itu kita harus menerjemahkan masalah tersebut kedalam model matematika, khususnya membentuk persamaan kuadrat. Kemudian persamaan tersebut diselesaikan dan perlu diingat bahwa hasilnya perlu diselesaikan dengan cirri atau karakter dari permasalahan tersebut.
- Diskriminan dan Penggunaannya
Kita tahu bahwa akar-akar persamaan kuadrat a + bx + c = 0, ( a 0 ), dapat diperoleh dengan rumus berikut:
= = atau =
b2 – 4ac yang disebut diskriminan ( D). jika a, b, dan c adalah bilangan real, maka diskriminan D= b2 – 4ac menunjukkan jenis akar persamaan kuadrat sebagai berikut.
- Menyusun Persamaan Kuadrat
Kita dapat membangun atau menyusun suatu persamaan kuadrat jika diketahui akar-akar persamaannya. Kita juga telah mengetahui, jika dan adalah akar-akar persamaan
a + bx + c = 0 maka : + = –
dan = . Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat sangat bermanfaat didalam menyusun suatu persamaan kuadrat.
a + bx + c = 0, a 0
a( x + ) = 0, ↔ a( ) = 0
berarti, x + = 0, ↔ = 0
sedangkan , = 0
↔ ( x – ) = 0
Dari uraian diatas kita dapat memperoleh hubungan berikut.
( x – ) = 0 ↔ = 0
Jadi persamaan kuadrat dapat disusun dari perkalian faktor-faktornya dan dapat juga disusun dari jumlah dan hasil kali akar-akarnya.
PENDIDIKAN MATEMATIKA 